这个看不懂可以略过，不是什么重要的知识。

ref 1: 陈琼, and 常新德. "有重复元素的圆排列和环排列的计数问题." 商丘职业技术学院学报 7.2 (2008): 10-13.

ref 2: https://math.stackexchange.com/questions/1852745/summation-with-combinations

什么是音乐的调性？能够回答这个问题的人很少。即使有，他给出的也未必是最终的答案——调性的观念不是一成不变的，而是随着历史变化的。关于调性一词最常见的释义可以参考维基百科。英文维基百科“Tonality（调性）”词条开篇是这样描述的：

（大致翻译一下）

Tonality is the arrangement of pitches and/or chords of a musical work in a hierarchy of perceived relations, stabilities, attractions and directionality.

调性指的是音乐作品中各音高和/或和弦的一种编排方式，它们按照被感知的相互关系、稳定性、（某些音对其他音的）吸引性与音的倾向性等因素形成了一定的层次结构。

In this hierarchy, the single pitch or triadic chord with the greatest stability is called the tonic. The root of the tonic chord forms the name given to the key; so in the key of C major, the note C is both the tonic of the scale and the root of the tonic chord (which is C–E–G).

在这个层次结构中，某一个音或三和弦具有最大的稳定性，它被称为主音或主和弦。主和弦根音的名称被用作调名（key）；因此在 C 大调中，C 既是音阶的主音同样也是主和弦（C-E-G）的根音。

（注：“调（key）”这个概念与我们使用什么音有关，而“调式（mode）”这个概念则指代音与音的相互关系。）

Simple folk music songs often start and end with the tonic note. The most common use of the term "is to designate the arrangement of musical phenomena around a referential tonic in European music from about 1600 to about 1910" (Hyer 2001).

简单的民间音乐经常从主音开始在主音结束。调性这个术语最常被用来指代“从约 1600 年到约 1910 年这段时间内欧洲音乐中围绕着某个主音对音乐现象（旋律、和声等）进行编排”这个概念（见参考文献 [Hyer 2001]）

Contemporary classical music from 1910 to the 2000s may practice or avoid any sort of tonality—but harmony in almost all Western popular music remains tonal. Harmony in jazz includes many but not all tonal characteristics of the European common practice period, sometimes known as "classical music".

从 1910 年到 21 世纪的当代经典音乐也许会使用调性也许会避免调性，但从和声上来看几乎所有的西方流行音乐都依旧是调性的。爵士音乐中的和声包含了许多（但不是所有）欧洲 common practice 时期的调性特征，这个时期的音乐常被称作“经典音乐”。

实际上我认为调性是一种人工构建并通过长期共同的实践与训练而形成的一种音乐审美体系。音的稳定性、倾向性这些概念都是人定义出来的，举个例子：在 C 大调中我们都知道下中音 A 有着向属音 G 的倾向性，但是使用了同样的一些音的 A 小调中 A 则不再倾向于 G。人们甚至为了构建出作为 A 小调导音的 G 向 A 的“强烈倾向”而仿照着大调发明了导音升高半音的和声小调。

实际上，除了音乐，很多地方都能见到人为构建起来的概念，人们在这些概念下探索模式，并形成一整套体系或文化。在游戏中，这套人为构建的概念被叫做游戏机制；在数学中，这套人为构建的概念被叫做公理系统。当然不可否认的一点是，这些概念并不是为了限制人的行动而被无缘无故地建立起来的。一个好的游戏机制内部蕴含着足够丰富的可供探索的模式；而一个好的数学公理系统可以作为绝大部分它所表示的数学现象的坚实基础。

当人从事艺术创作时，眼前一望无际皆为空白，选择的可能性有无限多种。所有人都知道做选择题就算不会也可以蒙一个答案，而填空题如果不会就真的什么也写不上去了。构建概念，正是把创作从填空变为选择的一个手段。

下面的一些讨论，首先要明确的一点是：我暂时把调性因素排除在了外面。因此在这些内容中，音乐性并不占据主要地位。占据着主要地位的，主要是一些有趣的数学模式。这些模式，可以帮助读者记忆一些现存的表面上看似毫无关联的东西，也可以帮助读者快速进行思考和推理。

最后要说的一点是，就算学会了一门语言有记录的全部语法也不一定意味着真正掌握了这门语言，音乐也是同理，就算掌握了各种各样的音乐理论，实际上能不能分析或写出好音乐则是另外的一种技能。这篇文章不是为了让人走捷径而写的（如果谁知道这样的捷径请务必告诉我，最好是能够少花点钱的那种）。

十二平均律下，所有可能的七声音阶结构共有 66 种（下面会详细解释何为“结构”）。66 这个数字可以使用预备知识部分的有重复圆周排列来计算。顺便说一下，所有可能的五声音阶结构也是 66 种，这当然是因为它是和七声音阶互补的（5+7=12，从 12 等分的圆周里随便选出 7 个位置构成七声音阶，那么剩下的 5 个位置自然就是五声音阶，参考钢琴的白键和黑键）；所有可能的六声音阶结构是 80 种，所有可能的三音和弦结构是 19 种，所有可能的四音和弦结构是 43 种。

七声音阶的结构有 66 种并不意味着这 66 种的音响效果都能够被人接受。实际上，在流行音乐中，绝大多数都只使用了其中的一种，那就是 Diatonic 结构。

Lydian, Ionian, Mixolydian, Dorian, Aeolian, Phrygian, Locrian 这些音阶只能算是同一种结构，统称为 Diatonic 结构。它们各自的音程序列（从主音开始连续的各相邻音构成的音程的序列）只相差一些轮换（如：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 到 [7, 1, 2, 3, 4, 5, 6] 就相差了一次向右的轮换。在和弦的语境中轮换也被称作转位）。下面使用“钟表”图形来进一步说明为什么所有的 Diatonic Scales 只能算是同一种结构（30° 表示小二度 m2，60° 表示大二度 M2，90° 可以是小三度 m3 也可以是增二度 A2，在图中则是 A2）。

图中的前三个音阶 C Ionian，Eb Ionian 和 C Lydian 都是 Diatonic Scales，最后一个 C Aeolian(#7) 是和声小调音阶。现在我们把七个指针看成是绑定在一起的刚体，当它们一同旋转时，前三个音阶总是可以完全重叠（完全同构），无论主音是十二个音中的哪一个，也无所谓调式是七个调式中的哪一个。但是对于第四个音阶来说，无论它的蓝色指针和第一个音阶中的哪一个指针重叠，剩下的六个指针都不可能完全重叠。因此它的结构是不同于前三个音阶的。本文提及的“结构”都是指这种旋转不变意义下的结构。从这个角度出发，可以发现各种七声音阶结构本质上的差异，而不必拘泥于类似 F Ionian 和 G Dorian 这种表象上的命名所带来的混乱。

除了 [C, #C, D, #D, E, F, F#, C] 这种全是半音最后一个三全音直接回到 C 的奇妙音阶之外，Diatonic 结构是七声音阶中最简单的一种结构。因为它是使用连续的五度产生的：从任意一个音出发，比如说 [3]Eb，每次增加 7（纯五度，从 [0]C 到 [7]G 的距离），只要超过 12 就模 12 取余数，连续六次之后得到的七个音构成的结构正是 Diatonic 结构（当然连着加 12 次会遍历所有的音又重新回到 [3]Eb，会遍历所有的音是因为 12 和 7 互质）。在 [3]Eb 这个例子中，从 [3]Eb 出发连续的六个纯五度组成的音列是：[3, 10, 17, 24, 31, 38, 45] = [3, 10, 5, 0, 7, 2, 9] 也就是 [Eb, Bb, F, C, G, D, A]，重新排列得到 [Eb, F, G, A, Bb, C, D]，这是 Eb Lydian 音阶。

Diatonic 结构有一些性质：从上面的钟表图中可以清楚地看到，两个小二度两边夹着的大二度数目是平衡的，为 2 : 3（而不是 1 : 4 或 0 : 5）。仅存在唯一的一个 180°，也就是图中直线代表的增四度或减五度。当直线中某一个指针升高半个音或另一个指针降低半个音时，依旧存在两个小二度以及被它们分为 2 : 3 的五个大二度，即得到的音阶结构依然是 Diatonic 结构。这一点正对应了添加升降号的顺序。

Diatonic Chords 有四种：m7-5, m7, 7, M7，它们也同样可以由钟表图形来显示。下面的图形展示了包含在 Diatonic 结构中的三个 m7 和弦，蓝色指针代表调式主音，红色指针代表和弦根音。这些指针无论如何整体旋转，它们的构型不会改变。

既然 Diatonic 结构有着如此多良好的性质，并且事实上我们又选择了 Major 和 Minor 这两种 Diatonic Scales 作为最初的认识音乐或调性的模型，我们的音乐审美也长期受着大小调体系的训练，那么从 Diatonic 结构出发去认识其他的音阶结构就成为了一种很自然的想法。下表尝试对 Diatonic 结构中的某些音阶添加 1-2 个临时变音记号，得到了一些非 Diatonic 结构的音阶。其中较为常见的是和声大小调音阶、旋律大小调音阶、Lydian b6 音阶、Phrygian #3 音阶等。

需要注意的一点是，C Lydian b3 音阶和 G 和声大调 音阶是同构的，它们只相差一些轮换。A Phrygian #3 音阶和 D 和声小调 音阶也是同构的，它们也只相差一些轮换。所以，要探索所有的 66 种七声音阶并非易事，因为我们从 Diatonic 结构下不同的音阶出发，进行一些微调，很可能得到的是相同的结构。

表中还存在着一些其他的同构现象，如产生 dim7 和弦的 Locrian b7 音阶实际上和和声大调音阶是同构的，因此和声大调音阶中也必然存在 dim7 和弦（如 A 和声大调 中的 VII 级和弦 G#dim7）。dim7 和弦在钟表图中表示为一对交叉的直线，也就是这音阶中存在两组相互垂直的三全音。第一张图的 C 和声小调 中同样也有这样的一对交叉直线，但这并不意味着和声小调音阶与和声大调音阶结构相同。差异体现在其他的三个音上。实际上，A 和声小调 与 C 和声大调 相差一个镜像对称，而镜像对称不能够由旋转得到。最一般的情况下，和声小调到和声大调音阶的变换是一些旋转与一次镜像对称的复合。此外，通过观察钟表图还可以发现一个显而易见的结论：在任何的七声音阶中都不可能同时存在两个不同的 dim7 和弦。最后，属七降九和弦 7(b9) 是一个 Non-Diatonic Chord，但它可以由和声小调产生，作为和声小调的属和弦（如 A 和声小调 中的 E7(b9) 和弦）。

再举一个 Non-Diatonic Scale 的例子。若考虑 A Aeolian(#7) 和 E Phrygian(#3) 这两种音阶，会发现它们具有完全相同的结构，只不过是主音位置上有所区别。二者都包含一个增二度音程，这个音程在一些中东风格的音乐经常可以被听到。虽然它们结构完全相同，但由于主音位置有区别，所以实际使用起来风格还是会有差异（体现在旋律法与和弦使用上）。Aeolian(#7)，也就是和声小调，是为了解决 VII 到 I 倾向性不足而出现的，它模仿着大调的音阶把导音 VII 升高了半个音。而 Phrygian(#3) 则是把主和弦由小三和弦转换为了大三和弦而出现的。

顺便说一句，在 Phrygian(#3) 中有一个十分经典的和弦进行，就是它的 I 级与 II 级和弦的交替。放在 E Phrygian(#3) 中讲，就是 E - F - E - F。这是一个非常有标志性的两个大三和弦呈小二度关系的进行。下面的谱例是使用 A Phrygian(#3) 构造的一段充满异域色彩的旋律，并配置了如下所述和弦进行：A7 - BbM7 - Gm7 - Em7-5(omit3) - A7：

我喜欢的作编曲家田中秀和就十分喜欢在音乐中使用各种从 Diatonic Scales 上变化得来的音阶。下面这个博客（日语）分析了一些这些音阶的用法：

http://kaho-ss.blogspot.com/2017/01/blog-post_9.html

值得注意的一个是 HMP5B 音阶，全称 “Harmonic Minor Perfect 5th Below”，即“主音下方纯五度开始是旋律小调音阶”的音阶，实际上正是 Phrygian(#3) 音阶。

给出了上面这些例子之后，终于可以开始正式的讨论了。我们的主要目的是对所有可能的 66 种七声音阶结构进行分类。分类的目的是为了简化记忆，并探究各种看似无关的音阶背后共有的性质。

既然要分类，那么就必须制定一个分类的标准。从上文关于 Diatonic 结构和非 Diatonic 结构的讨论中可以看到，非 Diatonic 结构的音阶可以看成是在 Diatonic 结构的音阶的基础上添加临时升降记号得到的。那么一个最自然的想法就是，使用 Diatonic 结构到目标音阶所需要额外添加的最少的升降号个数来对各种音阶结构进行分类。这个升降号的个数，我把它称为音阶的结构距离。非 Diatonic 音阶之间也同样可以计算结构距离，在这种情况下，结构距离依旧是把一个音阶变换到另一个音阶所需要的最少的升降号个数，音阶整体上下做 transposition 中的升降记号不包括在内。用一个例子来解释一下这个概念：考虑 C Lydian(#2, #3) 和 C Lydian(#5, #6)。如果直接从前者变为后者，总共需要 4 个升降记号，也就是先把 #2 和 #3 还原，再 #5 和 #6。但是观察下图你就会明白为什么它们之间的结构距离是 1：

举一些例子：C Ionian 和 A Ionian 的结构距离为 0；C Ionian 和 C Locrian 的结构距离为 0；A Aeolian(#6, #7) 和 C Ionian(b3) 的结构距离为 0；C Ionian 和 C Ionian(b3) 的结构距离为 1，C Ionian 和 C Ionian(b2, #4, #5, #6) 的结构距离为 3，C Lydian(#2, #3) 和 C Lydian(#5, #6) 的结构距离为 1，等等。下面的图像显示了所有的 66 类音阶两两之间的结构距离。可以从这个矩阵中看出，这种衡量音阶结构之间差异的指标确实可以称得上是距离，因为它满足距离定义中全部的三个条件：①满足非负性：对任意的两个音阶 x, y，d(x, y) 大于等于零，当且仅当 x = y 时 d(x, y) = 0；②满足对称性：d(x, y) = d(y, x)；③满足三角不等式：对任意的三个音阶 x, y, z，d(x, y) + d(y, z) 大于等于 d(x, z)（三角形两边之和大于第三边）。

定义了结构距离这个概念，就可以使用它对音阶的结构进行分类了。首先给出一个总表，表中列举出了所有可能的到 Diatonic 结构的结构距离在 2 以内的音阶，一共 23 个子类。表中的类的命名都是我自己给定的，命名的逻辑一般是沿用一些类内有代表性的音阶的名称。红色加粗的字体标出来的音阶是已经有了自己名字的音阶，剩下的音阶可能也有自己的名字，只不过我还不知道= =

在 Class 0，Class 3，Class 16 上写有 also Heptatonia prima，Heptatonia secunda 和 Heptatonia tertia 字样，这是 wiki 上给出来的另一种音阶分类方法，它只考虑存在两个小二度和五个大二度的那种音阶，并把小二度左右两边夹着的大二度数目比值为 2 : 3，1 : 4 和 0 : 5 的三类音阶分别叫做这三个名字。

距离 Diatonic 结构的结构距离为 0 的音阶称为第零阶音阶（绿色底色），它有 1 个子类，正是 Diatonic 类。这个类中所有的音阶都与任意一个中古调式音阶同构，换句话说也就是它们都有着“全全半全全全半”及其轮换这样的音程序列。

距离 Diatonic 结构的结构距离为 1 的音阶称为第一阶音阶（蓝色底色），它有 7 个子类，分别是 和声小调类、Lydian #3 类、旋律大小调类、Minor Neapolitan 类、Lydian b2 类、和声大调类和 Lydian b6 类。它们到 Diatonic 类的最短距离为 1 个升降号。

距离 Diatonic 结构的结构距离为 2 的音阶称为第二阶音阶（黄色底色），它有 15 个子类，其中较为常见的两个类（实际上已经不算常见了，在维基百科中可以搜到）是 Double Harmonic Minor 类和全音阶任加一音类。由于全音阶具有对称性，全音阶任加一音，加在哪里都是一样的。

距离 Diatonic 结构的结构距离为 3 到 8 的音阶，音程结构已经十分扭曲了，在音乐作品中也极端罕见，因此在这里不再详细提及。不过还是有一些值得说一下的豆知识：

有一种名叫 Enigmatic Scale 的音阶（Lydian(#5,#6,b2)，Phrygian(#6,b1,b2)，Dorian(b1,b2,b2)，或 Ionian(b2, #4, #5, #6)），属于第三阶音阶，曾经作为一个配和声的挑战出现在某个杂志上。它的音程结构是被故意设计得不和谐的。

第八阶音阶只包含一个子类，也就是第 66 类，它的结构正是上文提到的音程向量全是连续的小二度最后一个三全音的音阶 [C, C#, D, D#, E, F, F#]，所有的音符都挤在了一起。如果非要让 C、D、E、F、G、A、B 这七个音名各自都出现一次的话，那这个音阶应该写成这样：Eb Ionian(##5, #6, b2, bb3, bb4)：[B#, C#, D, Eb, Fb, Gbb, Abbb]，见下图。此时 C 不可能成为主音，否则升降号就必然要多于 8 个。话说回来升降记号在这里其实已经没有什么意义了，因为这里的升降号除了阻碍人思考音程关系以外，毫无任何揭示调性的作用。倒不如直接使用音高编号 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] 来得舒服。

除了简单的 Diatonic 结构之外，最常被人使用的音阶结构大多可以归为第一阶音阶中。

和声小调类

在和声小调类（Class 1）音阶中，最常见的两种形态分别是 Aeolian(#7) 和 Phrygian(#3)。前者就是和声小调音阶，而后者是从和声小调的第 V 级开始的七个音构成的音阶。上文提到过，Phrygian(#3) 也被称为 HMP5B，是一些日本的编曲家爱用的音阶，同时也是具有中东色彩的音阶。和声小调的主和弦（七和弦）是一个小大七和弦，HMP5B 的主和弦（九和弦）是一个属七降九和弦。小大七和弦中包含了一个 aug 和弦，属七降九和弦中包含了一个 dim7 和弦。这两个和弦都可以作为经过和弦使用。aug 和弦是大三度堆叠而成的，dim7 和弦是小三度堆叠而成的。

和声小调类中，音阶上建立起来的所有可能的七和弦结构是：mM7，m7-5，M7+5，m7，7，M7 和 dim7。使用和声小调类音阶可以极大地扩展和声的色彩。

旋律大小调类

旋律大小调类（Class 3）是一个庞大的家族，其中包括 Altered Scale，Acoustic Scale，旋律小调音阶，旋律大调音阶，Half Diminished Scale 和 Dorian(b2) 音阶等。

Altered Scale 来自于爵士，它是把属九和弦的五音拆解为升降五音、九音拆解为升降九音得到的（主音三音七音这些决定和弦性质的音没有变）。考虑 G7(9) 和弦，它的组成音为 G B D F A，把 D 拆解为两个音：Db 和 Eb，把 A 拆解为两个音 Ab 和 Bb，把 B 改写为 Cb。重新排列可以得到 [Gb, Ab, Bb, Cb, Db, Eb, F] 这一串音。此外，属和弦的 #11 音和 b13 音实际上和 b5 音 #5 音是相同的，因此不用考虑在内。表中给出了两种快速建立 Altered Scale 的方式：把大调音阶的主音升高半音（Ionian(#1)）或者把 Locrian 音阶的四音降低半音（Locrian(b4)）。举一个例子，当我们想得到 G Altered Scale 时，只需要先考虑 Gb Ionian = [Gb, Ab, Bb, Cb, Db, Eb, F]，再把 Gb 还原为 G 即可。或者可以考虑 G Locrian = [G, Ab, Bb, C, Db, Eb, F]，再把四音 C 降低半个音即可。

Acoustic Scale 是使用泛音列构成的音阶（实际上只是近似到十二平均律体系中来的）。它可以看作是从 Altered Scale 的五音开始的七个音构成的音阶。一个比较有趣的事情是，在 C Acoustic Scale 中，F# 和 Bb 同时存在。

旋律小调音阶是从 Acoustic Scale 的第五个音上开始的七个音构成的音阶，或者是把大调音阶的第三个音降低半音（使主和弦成为小三和弦）而得到的（Ionian(b3)）。从后一种构成的角度来看，旋律小调音阶也可以被叫做 Minor Major Scale，也就是“小的大调音阶”。说到旋律小调音阶或许很多人都会想到那首著名的《莫斯科郊外的晚上》。旋律小调音阶的传统用法是在旋律上行的时候使用 Aeolian(#6, #7) 中的变化音，而在下行的时候不用。但在爵士中上下行是对称的。

旋律大调音阶是从旋律小调音阶的第五个音上开始的七个音构成的音阶，或者是把小调音阶的第三个音升高半音（使主和弦成为大三和弦）而得到的（Aeolian(#3)）。从后一种构成的角度来看，旋律大调音阶也可以被叫做 Major Minor Scale，也就是“大的小调音阶”。这和旋律小调音阶形成了绝妙的对偶关系。

Dorian(b2) 音阶是比较有趣的一个音阶，它可以看作是 Phrygian 音阶的前半截和 Dorian 音阶的后半截拼接在一起的产物，当然也是旋律大调从第五个音开始的七个音构成的音阶。对于 D Dorian(b2) 来说，就是 [D, Eb, F, G, A, B, C]；对于 A Dorian(b2) 来说，就是 [A, Bb, C, D, E, F#, G]（又同时看到了 Bb 和 F#）。当在小和弦上演奏即兴乐句的时候，如果想要调和 Dorian 的明亮色彩和 Phrygian 的阴暗色彩，可以试试这个音阶。

Half Diminished Scale 是从 Dorian(b2) 的第五个音开始的七个音构成的音阶。人们更多地把它直接称为 Locrian(还原2) 音阶，在表里我写的是 Locrian(#2)。

旋律大小调类音阶能够产生的七和弦种类与和声小调音阶相同。

Minor Neapolitan 类

这个类中只有一个音阶值得注意，那就是 Minor Neapolitan Scale。它是 Phrygian 音阶升高七音构成的，非常类似于 Harmonic Minor 的 Aeolian(#7)，所以也常被人称作“Phrygian Harmonic Minor Scale”。同样也有“Phrygian Melodic Minor Scale”，那是属于第二阶音阶第 16 类的 Phrygian(#6, #7)，它也被称为 Major Neapolitan Scale。

和声大调类

和声大调音阶是大调音阶降六级形成的。和声大调类音阶的音程向量 [2, 1, 3, 1, 2, 2, 1] 与和声小调类音阶的音程向量 [3, 1, 2, 1, 2, 2, 1] 呈逆序关系。

和声大调类音阶能够产生的七和弦种类与和声小调类音阶相同。

（未完待补充）